忆阻器字面包含两层意思:一是电阻,二是具有记忆性。它是伯克利的蔡少棠教授从电路完备性角度预言的器件,下面我们也尝试“预言”一番。

一、电路理论完备性

已知四个基本电学量:电流$I$、电压$V$、电荷$Q$和磁通量$\varphi$。从中任取两个量,就有$C_4^2=6$种组合,即六种关系:
$$
\begin{cases}
R=\frac{V}{I} \\
I=\frac{dQ}{dt}\\
V= \frac{d\varphi}{dt}\\
L= \frac{V}{dI/dt}=\frac{d\varphi}{dI}\\
C= \frac{Q}{V}\\
\frac{d\varphi}{dQ}=?
\end{cases}
$$
可以简单用下面的图表示:
忆阻器.png

如果磁通量和电荷量存在一一对应关系,那么可以定义$\varphi$随Q的变化率:
$$
M=\frac{d\varphi}{dQ}=\frac{d\varphi/dt}{dQ/dt}=\frac{V}{I}
$$
即M具有电阻的量纲,但它的的值依赖于过去流经该器件的电荷总量Q,因此具有记忆功能。

二、真实器件

2008年,惠普实验室发现$Pt/TiO_2/Pt$三明治叠层架构重现捏滞回线,并用简洁的边界迁移模型来解释器件的忆阻现象:电阻为$TiO_2$薄膜,由高浓度掺杂的低电阻($R_{ON}$)和低浓度掺杂的高电阻($R_{OFF}$)串联而成,电荷Q的积累会改变分配的比例,如图:
image.png
数学关系描述如下:
$$
\begin{cases}
V=M(x)I \\
M(x)=R_{ON}x+R_{OFF}(1-x)\\
dx/dt=kI
\end{cases}
$$
这里的x具有电荷的量纲,表示系统的状态变量。

三、数值分析

假设系统的输入电流$I(t)=I_0sin(\omega t)$,初始条件$x(0)=c$,可以积分得到状态变量:
$$
x(t)=c+\frac{kI_0}{\omega}[1-cos(\omega t)]
$$

进而得到输出电压:
$$
v(t)=a_1sin(\omega t)+a_2 sin(2\omega t)
$$
其中$a_1 = (R_{ON}-R_{OFF})I_0(c+\frac{kI_0}{\omega})$,$
a_2 = (R_{ON}-R_{OFF})\frac{kI_0^2}{2\omega}$

选择参数$k=1\times 10^4,R_{ON}=100\Omega,R_{OFF}=10k\Omega,c=0,\omega=5rad/s$,利用matlab可以计算得到电压随电流变化的数值关系:(代码见附录)
image.png
与普通电阻的直线相比,忆阻器的电阻与“过去”有关,各点的阻值是该点与原点构造直线的斜率(不是切线斜率)。

再仔细比较电流$I$,状态参数$x$,电阻$M$,电压$V$随时间t的变化关系,如下:
image.png

着重比较电流和电阻变化图,发现电阻在$6k\Omega$与$10k\Omega$之间波动,而且当电荷累积最大的时候,电阻达到最小值;无电荷累积的时候,电阻最大。

我们还可以变化参数,得到不同的电压——电流变化图:
image.png

附录

% 1.basic parameter
clear;clc;
k0=1*10^4;
R1 = 100;R2 = 10000;
% I = 0.1,0.15,0.2mA
I = 1*10^(-4);
% w = 5, 3,10,100rad/s
w = 5;   
% c = 0 , 0.2, 0.4 
c = 0;
% 2.time
delta = 0.0001; t = [0:delta:2*pi/w];
%% 3. it,x,M,V
it = I*sin(w*t);
%it = 2*I*sin(w*t)+1.5*I*cos(2*w*t);
N = size(t);N = N(2);
intit=it;
for k=2:N
    intit(k)=it(k)+intit(k-1);
end
intit = delta *intit;
x = c+k0*intit;
M = R1 + R2*(1-x);
V = M.*it;
plot(it,V);
%% show result
subplot(2,2,1);plot(t,it);
subplot(2,2,2);plot(t,x);
subplot(2,2,3);plot(t,M);
subplot(2,2,4);plot(t,V);

顺便推荐matlab在线运行的网址,只需要学生邮箱注册。

标签: 忆阻器, 存算

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